stop to do sth停下来做某事（停下来去做另一件事情）
stop doing sth停止做某事（停止手上正在做的事情）。

例如：I'm tired. Let's stop to have a rest.我累了，咱们停下来休息一会吧。（讲解：停下手中的事情去休息，是两件事情）

It's time for class. Stop talking.上课了，别说话了。（讲解：一直讲话的同学请停下来，表示停下一直在做的事情）

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remember to do sth记住做某事（事情还没有做）
remember doing sth记得做过某事（事情已经做了）

例如：We must remember to turn off the TV.我们一定要记住关上电视。（记住还没有做但是要做的事情）

I remembered sending you some stamps.我记得给你寄了邮票的。（记得做过某事）

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forget to do sth忘记做某事（事情还没有做）
forget doing sth忘记做过某事（事情已经做了）

例如：Don't forget to turn off the night when you leave the room。离开房间时，别忘记关灯（事情还没有做）

I forget telling you that before.我忘记之前已告诉过你那件事了。（事情已经发生了，只是作者忘记了）

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try to do sth设法做某事
try doing sth尝试做某事

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一般来说,begin to do和begin doing可以互换,
但在以下三种情况下,用to do：
1.主语不是指人,而是it等.如：It began to rain.
2.begin后接表示心理活动的词.如：begin to know 
believe,wonder,think等.
3.begin本身是ing形式,为避免重复后接to do 
即,beginning to do 

P.S 
doing 一般有正在做的意思 
to do一般有正准备做的意思 
所以doing 就是开始做了to do开始要做,还没做
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begin to do something 和beging doing something都有表示"开始干什么事情"的意思, 但是有不同

begin doing something特别指很强烈的持续性.比如:
He began smoking three years ago(他三年前开始抽烟)既开始养成习惯
This year the rainy season came earlier than before, it began raining in June(今年的雨季比以前来的早,在六月就下雨了)

begin to do something 表示一件事情的开端,持续与否不重用. 比如:
It's beginning to rain, we had better hurry home(下雨了,我们快回家吧)
At first it was only drizzling, but soon it began to rain heavily
(开头只下毛毛雨,可是不久就大起来啦),这里不宜说but soon it began raining heavily.

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